Uma partícula de 0,340   k g se move no plano x y de acordo com as equações x ( t )   =   - 15,00   +   2,00 t   -   4,00 t 3 e y ( t )   =   25,00   + 7,00 t   -   9,00 t 2 , com x e y em metros e   t em segundos . No instante t   =   0,700   s , quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) da força resultante a que está submetida a partícula e (c) qual é o ângulo da direção de movimento da partícula?

Passo 1

Shooow galerinhaa !! Boora?!

Para achar a força resultante nós precisamos lembrar de como ela é calculada, certo?

Vamos ver?

F → = m a →

A massa nós temos, então só precisamos achar a aceleração, mas como?

Simples !! Basta nós lembrarmos que a aceleração é a derivada segunda da posição:

a x → = d d t d x d t

a y → = d d t d y d t

Vamos começar fazendo a derivada primeira?

d x d t = 0 + 2 - 12 t 2 = 2 - 12 t 2

d y d t = 0 + 7 - 18 t = 7 - 18 t

Agora precisamos derivar o que acabamos de achar:

d d t d x d t = - 24 t

d d t d y d t = - 18

Sendo assim:

a x → = - 24 t

a y → = - 18

E o vetor será:

a → = - 24 t î - 18 j ^

Mas nós queremos a aceleração quando t = 0,7   s :

a → = - 24 × 0,7 î - 18 j ^

a → = - 16,8 î - 18 j ^ m s 2

Passo 2

Belezaa !! Agora que temos a aceleração podemos achar o vetor força, usando a fórmula do Passo 1:

F → = m a →

F → = 0,34   k g - 16,8 î - 18 j ^ m s 2

F → = - 5,712 î   - 6,12 j ^ N

Agora que temos a força poderemos achar seu módulo, basta lembrar que:

F = F → = F x 2 + F y 2

F = - 5,712 2 + - 6,12 2 = 8,37   N

Passo 3

E o ângulo de um vetor? Vocês lembram como fazer?

Bom, se não lembram não tem problema !!

A trigonometria nos diz que:

θ = tan - 1 ⁡ F y F x

θ = tan - 1 ⁡ - 6,12 - 5,712 ≈ 47 °  

Bom, isso não faz sentido, faz? Nós temos que as componenetes x e y do vetor força são negativos, isso que dizer que o vetor está no terceiro quadrante !!

Então para descobrir este ângulo:

θ ≈ 47 ° - 180 ° = - 133 °

Como sabemos que F → está no terceiro quadrante, escolhemos o segundo ângulo - 133 ° .

Passo 4

A letra (d) nos pede a direção do movimento, ou seja, a direção do vetor velocidade !!

Já sabemos pelo passo 3 que a direção é dada por:

θ = tan - 1 ⁡ v y v x

Então nós precisamos achar as componenetes x e y da velocidade !!

A velocidade é a derivada do movimento, se lembram?

v x = d x d t

v y = d x d t

As derivadas nós temos no Passo 1:

v x = 2 - 12 t 2

v y = 7 - 18 t

No instante t =   0,7 s , temos que :

v x = 2 - 12 0,7 2 = - 3,88

v y = 7 - 18 0,7 = - 5,6

E agora podemos achar o ângulo:

θ = tan - 1 ⁡ - 5,6 - 3,88 = 55,3 °

Mesmo caso anterior, certo? Então basta fazermos:

θ = 55,3 ° - 180 ° = - 124,7 °

Tranquilo galera??? Bora resolver mais questões então!!!!!

Resposta

  1. F = 8,37   N ;
  2. - 133 ° ;
  3. - 124,7 ° .
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